Die Faszination der Zahl π – und warum auch Schülerinnen und Schüler etwas davon erleben müss(t)en

Ein Kommentar von Prof. Dr. Hans-Georg Weigand

Hintergrundinformationen

Die Zahl π, die das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises angibt, hat alle Kulturen der Menschheit und Mathematiker*innen aller Zeit fasziniert, begeistert, herausgefordert.

Für dieses Verhältnis verwendeten die Babylonier die Zahl \( 3\frac{1}{8} = 3,125 \) , im 16. Jahrhundert v. Chr. die Ägypter \(\Bigl(\frac{16}{9}\Bigl)^{2} = 3,16049… \) und in Indien (500 v. Chr.)  \(\frac{3927}{1250} = 3,1416 \) . Das Alte Testament (im Buch er Könige) ist mit \( π = 3 \) zufrieden.

Archimedes (287 – 212 v. Chr.) gab erstmals ein iteratives Verfahren zur Bestimmung von π an. Später haben dann Mathematiker mit den unterschiedlichsten Methoden π auf immer mehr Nachkommastellen berechnet. Mit Hilfe des 262-Ecks konnte Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) π auf 32 Nachkommastellen bestimmen, mit Hilfe der arctan-Reihe schaffte es Abraham Sharp (1653 – 1742) auf 126 Nachkommastellen, William Rutherford (1798 – 1871) auf 440 Stellen und William Shanks (1812 – 1882) gar auf 707 Stellen, hatte sich allerdings bei (ab) der 527. Stelle verrechnet!

Johann Heinrich Lambert zeigte 1767, dass π irrational ist und Ferdinand von Lindemann 1882 die Transzendenz von π. Damit war das Problem der Quadratur des Kreises gelöst: Es ist nicht möglich, ein zu einem Kreis flächengleiches Quadrat nur mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. Mit dem beginnenden Zeitalter der Computer setzte nun ein Weltrekordwettlauf um die Berechnung möglichst vieler Nachkommastellen von π ein. Die Japaner Yoshiaki Tamura und Yasumasa Kanada berechneten in den 1980er Jahren π auf über 500 Millionen Nachkommastellen, das wären – aufgeschrieben – bereits über 100.000 Druckseiten! Heute liegt der Rekord bei über 30 Billionen Nachkommastellen[1].

π in der Mathematik

Warum interessieren sich Mathematiker in so exzessiver Weise für die Zahl π? Diese Faszination hat verschiedene Gründe. Das Problem der Bestimmung des Verhältnisses von Umfang und Durchmesser ist zunächst einfach zu formulieren und zu verstehen. Dann kommt die Zahl π in (fast) allen Gebieten der Mathematik vor, in der Geometrie, Algebra, Analysis, Stochastik …. Schließlich liegt eine Faszination aber auch in der Komplexität der Zahl, die sich der Transzendenz zeigt, indem sie sich einer einfachen endlichen Darstellung entzieht. Es ist nicht die praktische Bedeutung dieser Zahl, die sie zu einer besonderen Zahl macht, es sind vielmehr die mathematischen Denkweisen, die sich (auch oder gerade) an dieser Zahl dokumentieren lassen. Von der Faszination der Beschäftigung mit der Zahl π sollten Schülerinnen und Schüler zumindest etwas auch im Mathematikunterricht erleben dürfen.

Warum π in der Schule?

Im Folgenden seien einige Ziele angeführt und in Kurzform erläutert, die im Zusammenhang mit der Zahl π angestrebt werden können. Sie lassen sich – hoffentlich – nachvollziehen, sie lassen sich aber auch kritisch hinterfragen. Sie stellen auf jeden Fall eine Basis für Diskussionen dar.
 

  1. Erfassen, was (auch) eine Zahl sein kann. Die Kenntnis der Formel zur Berechnung des Umfangs aus dem Durchmesser eines Kreises gehört zum mathematischen Grundwissen. π lässt sich durch verschiedene experimentelle Methoden auf zumindest zwei Nachkommastellen hinreichend genau bestimmen. Mit \( π = 3,14 \) kann man die meisten Anwendungsaufgaben zufriedenstellend lösen. Wer in der Schule auf dieser intuitiven Verständnisebene stehen bliebt, raubt den Schülerinnen und Schüler allerdings das Erlebnis eines Einblicks in typisch mathematische Denkweise. Bei der Zahl π geht es nicht – oder nur zum sehr kleinen Teil – um die praktische Bedeutung, es geht um das Erlebnis des Erfassens was in der Mathematik (auch) als „Zahl“ bezeichnet wird. Ein erster Schritt hierzu ist die Möglichkeit, die Zahl π durch ein iteratives Verfahren – etwas das Archimedische Verfahren des Ein- und Umschachtelns eines Kreises mit Vielecken – prinzipiell beliebig genau berechnen zu können (siehe aber 7.).

  2. Mit π ein Gefühl für Unendlichkeit bekommen. In den unendlich vielen Nachkommastellen der Dezimalbruchentwicklung von π gibt es keine Regelmäßigkeiten und keine Muster. Aber jede nur denkbare Ziffernfolge – wie lang sie auch sein mag – kommt irgendwann bei den Nachkommastellen vor. Es gibt Bücher, in den 1 Million Nachkommastellen von π aufgeführt sind (Gilbert 2016). Entsprechende Tabellen findet man auch im Netz.[2] Das lässt sich für kleinere Folgen mit einem Rechner gut nachprüfen, wenn man etwa sein Geburtsdatum in π suchen möchte.[3] Für längere Ziffernfolgen erfordert dies allerdings eine Antizipation des Unendlichen im Sinne des „und so weiter“.

  3. Wissen, was Transzendenz von π bedeutet. Sowohl π als auch \(\sqrt{2}\)  sind irrationale Zahlen. Während \(\sqrt{2}\) aber eine Nullstelle eines Polynoms (mit rationalen Koeffizienten) ist, gibt es für π kein solches Polynom. Solche Zahlen bezeichnet man als transzendent. Eine Folge davon ist, dass sich π nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt, insbesondere also die Quadratur des Kreises nicht möglich ist.

  4. Erkennen, dass π eine Beziehung zwischen Geometrie und anderen Gebieten der Mathematik herstellt.  π ist eine Zahl, die in allen Gebieten der Mathematik vorkommt, ob in der Geometrie, Trigonometrie, Analysis, Analytischen Geometrie oder Stochastik. Das hängt natürlich mit der allumfassenden Bedeutung des Kreises zusammen. Das Auftreten von π in den verschiedenen Gebieten ist eine Klammer, die verschiedene Gebiete verbindet und die Frage nach Gemeinsamkeiten stellt. Ein Beispiel hierfür ist die Monte-Carlo-Methode, bei der Punkte zufällig – mittels eines Rechners – ins Innere eines Einheitsquadrats mit einbeschriebenem Einheitskreis „geworfen“ werden. Die Zahl der im Kreis liegenden Punkte im Vergleich zu denen im Einheitsquadrat ist ein Maß für den Flächeninhalt des Kreises und damit ein Maß für die Zahl π. Mit einem stochastisches Verfahren lässt sich so eine arithmetische Lösung für ein geometrisches Problem finden.[4]

  5. Anhand der Beschäftigung mit der Zahl π lässt sich ein authentischer Einblick in die Geschichte der Mathematik vermitteln. Die Umfangs- und Flächenberechnung eines Kreises war im Altertum zunächst aus rein praktischen Gesichtspunkten wichtig. Erst mit der griechischen Mathematik erlangten Problemstellungen im Rahmen axiomatischer Denkweisen an Bedeutung. Die Quadratur des Kreises ist eine derartige Fragestellung, die Mathematiker bis zur Neuzeit beschäftigt hat und die ein Problem zeigt, das sich nicht mit Hilfe auch noch so großer Rechner lösen lässt. Hier lässt sich gut nachvollziehen, dass Problemlösen stets mit Kreativität, dem Finden neuer Methoden und dem Aufzeigen von Querverbindungen zu tun hat. Und vor allem zeigt sich, dass Lösungen von Problemstellungen stets neue Probleme aufwerfen.

  6. π zeigt die Schönheit der Mathematik. Schönheit ist (in der Mathematik) ein schwieriger Begriff. Für Joseph Beuys ist Schönheit der „Glanz der Wahrheit“. Danach ist Mathematik eine schöne Wissenschaft. Ein anderer Zugang zur Schönheit in der Mathematik sind Regelmäßigkeiten, Muster und Symmetrien. Diese zeigen sich vor allem in der Geometrie. Aber auch Darstellungen von π, wie etwa $$\frac{π}{4} = \frac{1}{1+\frac{1^2}{2+ \frac{3^2}{2+ \frac{5^2}{2+… }}}} $$ oder $$ \frac{π}{4} =1-\frac{1}{3}+ \frac{1}{5}- \frac{1}{7}+…,$$ lassen eine andere Art von Schönheit in der Mathematik erkennen. Mit Hilfe eines Rechners lässt sich mit einem Tabellenkalkulationsprogramm oder einem Computeralgebrasystem gut die Konvergenzgeschwindigkeit nachvollziehen. Wenn man bei der von S. Ramanujan (1887–1920) gefundenen Formel $$\frac{1}{ π } =\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{\sqrt{8}}{9801}} \sum_{k=0}^n\frac{(4k)!\cdot(1103+26390 \cdot k)}{(k!)^4 \cdot 396^{4k}},$$ die heute noch in Taschenrechnern verwendet wird, sukzessive für größer werdendes n die Zahl Pi berechnet, dann lässt sich erfahren, was quadratische Konvergenz bedeutet.

  7. π zeigt die Grenzen des Arbeitens mit digitalen Technologien auf. Bereitsdie Berechnung von π mit Hilfe der Methode von Archimedes zeigt die Schwierigkeiten einer digitalen Berechnung etwa mit einem Tabellenkalkulationsprogramm. Dabei erkennt man sehr bald, dass die in diesem Zusammenhang häufig verwendete Formel des Zusammenhangs zwischen der Seitenlänge s2n des 2n-Ecks und sn, der des n-Ecks: $$ s_{2n}= \sqrt{2- \sqrt{4-s_{n}^2}} $$ bei sehr kleinen Seitenlängen der n-Ecke zu Problemen führt. Zu kleine Werte werden vom Rechner als 0 angenommen, die Berechnung wird dann ungültig, man erhält sn = s2n = 0. Für das Rechnen mit sehr vielen Nachkommastellen benötigt man eigene Algorithmen, die bei hohen Stellenwerten die Rechenzeit aber sehr verlängern. Die Berechnung der Nachkommastellen von π ist deshalb eine Herausforderung auch der Rechnerstruktur.

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Literatur:

Delahye, Jean-Paul: Pi die Story – Birkhäuser: Basel 1999

Gilbert, P. (2016). Pi auf 1000000 Stellen. Berlin: epubli

Höfle, A. (2003). π … und noch immer kein Ende. Mathematik lehren 121. 44-46

Internetseiten:

http://pi314.at/

http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl


[1] Siehe http://pi314.at/

[2] https://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.eu/pi-stellen/

[3] https://www.angio.net/pi/piquery.html

[4] https://www.mathematik.ch/anwendungenmath/wkeit/simulation_pi/

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