Es ist seit langer Zeit der Traum des Menschen, das Weltall zu erreichen. Dieser Traum ist Anfang der 70er-Jahre Realität geworden und hat über die Landung auf dem Mond zur, bis heute ständig besetzten, Raumstation ISS geführt. Hauptkritikpunkt aller Weltraumprogramme ist der Kostenaufwand, unter dem Menschen und Material ins All befördert werden; der Start einer Sojus-Rakete kostet ca. 50 Mio. Euro. Die Idee, „einfach“ einen Aufzug zu bauen, der von der Erdoberfläche bis in den geostationären Orbit reicht, wurde schon 1895 durch Konstantin Tsiolkovsky entwickelt, inspiriert durch den Eiffelturm. Allerdings scheiterte die Realisierung bis heute an der Tatsache, dass nicht genügend druckfeste Materialien zum Bau einer Turmstruktur zur Verfügung stehen.

Ein Artikel von Ralf Hoheisel, Berufsbildende Schule ME Hannover
– MaLeNe-Koordinator Niedersachsen –

Eine andere Idee ist es, ein Seil aus dem geostationären Orbit herabzulassen. Das wurde schon von mehreren Wissenschaftlern vorgeschlagen. Diese Vision erlangte 1975 durch einen Aufsatz* von Jerome Pearson, einem amerikanischen Airforce-Ingenieur, erneute Beachtung. Er beschrieb unter anderem die mathematisch-physikalischen Grundlagen, nach denen ein Seil zu konstruieren sei, das von der Erdoberfläche über den geostationären Orbit so weit hinaus ins All reicht, bis sich die Kräfte ausgleichen. Er ermittelte auch die Anforderungen an dieses Seilmaterial.

Unter Bezug auf diesen Aufsatz wird zunächst die Gleichung entwickelt, die die Kraft auf ein Seilelement beschreibt, sowie die Diffentialgleichung, nach der sich der Seilquerschnitt mit zunehmender Höhe ändert. Anschließend liefert eine Betrachtung der Seilquerschnittsverhältnisse Bedingungen, die ein mögliches Seilmaterial erfüllen muss.

1. Betrachtung der Kräfte, die auf ein Seilelement wirken

Auf ein Seilelement der Länge $dr$ mit dem Abstand $r$ von der Erdoberfläche wirken

die Gravitationskraft $dF_G$ mit $dF_G=G \cdot M \frac{\rho \cdot A}{r^2}\,dr$, sowie

die Zentripetalkraft $dF_Z$ mit $dF_Z=\rho \cdot A \cdot \frac{v^2_r}{r} \cdot dr$.

Eine Kräftebilanz liefert die resultierende Kraft

$dF_r=G \cdot M \frac{\rho \cdot A}{r^2}\,dr – \rho \cdot A \cdot \frac{v^2_r}{r} \cdot dr$,

die durch einige Umformungen mithilfe physikalischer Gesetzmäßigkeiten in eine einfache Form entwickelt wird:

$$dF_r = \rho \cdot A \cdot g_0 \cdot r^2_0 \cdot \Biggl(\frac{1}{r^2}-\frac{r}{r^3_s}\Biggl) \,dr$$

Dabei ist $r_s = 42,157 \cdot 10^3 \,km$ geostationärer Orbit.

Skizze des Graphen von $dF$ mit $\rho \cdot A = 2 \frac{kg}{km}$,
Erdradius $r_0 = 6,378 \cdot 10^3 \,km$,
Erdbeschleunigung $g_0 = 9,81 \cdot 10^{-3} \frac{km}{s^2}$
und Radius im geostationären Orbit.

Die auf das Gesamtsystem wirkende Kraft $F$ lässt sich nun mit

$$F_r = \int_{r_0}^{r_t} dF_r \,dr$$

berechnen, wobei $r_t$ den Radius des Seilendes beschreibt. Bei entsprechender Seillänge ist $F_r=0$, das System also kräftelos. Damit gilt:

$$0 = \int_{r_0}^{r_t} dF_r
=\int_{r_0}^{r_t}\rho \cdot A \cdot g_0 \cdot r^2_0 \cdot \Biggl(\frac{1}{r^2}-\frac{r}{r^3_s}\Biggl) \,dr
=\int_{r_0}^{r_t} \Biggl(\frac{1}{r^2}-\frac{r}{r^3_s}\Biggl) \,dr$$

mit der einzig sinnvollen Lösung $r_t=150\,121\,km$.

Die grundsätzliche Idee ist, dass ein “Seil” aus dem Weltraum kommt, bis zur Erde reicht, dabei frei hängt und theoretisch noch nicht einmal am Erdboden befestigt sein müsste.

2. Differentialgleichung der Querschnittsfläche

Das Seil ist über seine Länge der Spannung $\sigma$ ausgesetzt. Damit diese über die Länge konstant bleibt, muss sich der Seilquerschnitt ändern, mit der größten Querschnittsfläche im geostationären Orbit. Damit wird $A$ eine von $r$ abhängige Größe $A(r)$ und

$$dF_r = \rho \cdot g_0 \cdot r^2_0 \cdot \Biggl(\frac{1}{r^2}-\frac{r}{r^3_s}\Biggl) \cdot A(r) \cdot dr.$$

Mit $dF_r=\sigma \cdot dA$ und der Seilspannung $\sigma$ folgt

$$dA = \frac{\rho \cdot g_0 \cdot r^2_0}{\sigma} \Biggl(\frac{1}{r^2}-\frac{r}{r^3_s}\Biggl) \cdot A(r) \cdot dr.$$

In dieser Gleichung wird noch $\frac{\rho \cdot g_0}{\sigma} = \frac{1}{h}$ ersetzt, wobei $h$ die spezifische Reißlänge (die Länge, unter der ein Seil unter seinem Eigengewicht reißt) eines möglichen Werkstoffes beschreibt. Einsetzen führt zu der Diffentialgleichung

$$dA = \frac{r^2_0}{h} \Biggl(\frac{1}{r^2}-\frac{r}{r^3_s}\Biggl) \cdot A(r) \cdot dr,$$

die sich durch Trennung der Variablen und Integration oder mittels ClassPad II lösen lässt. Die Konstante $const(1)$ ergibt sich durch die Bedingung $A(r_s)=A_s$, also die Querschnittsfläche im geostationären Orbit.

Die nächsten Schritte sind: Definieren von $A(r)$, variieren des Parameters $h$ und $A_s=1$ setzen. Das Ergebnis ist dann die Funktion, die den Seilquerschnitt über die Seillänge beschreibt.

Die unten stehenden Graphen veranschaulichen den Sachverhalt für die Reißlängen ($h=26\,cm$, Stahl) und ($h=370\,km$, Dyneema, eine Polyethylenfaser).

3. Querschnittsverhältnisse

Um eine Aussage über die Realisierung des Seils zu treffen, wird das Querschnittsverhältnis $\frac{A_s}{A(r_0)}$ betrachtet.

Stahl ($h=26\,km)$: $\frac{A_s}{A(r_0)}=\frac{1}{2,551\cdot10^{-83}}=3,92\cdot10^{82}$

PE-Faser ($h=370\,km)$: $\frac{A_s}{A(r_0)}=\frac{1}{1,571\cdot10^{-6}}=0,637\cdot10^{6}$

Graphen ($h=3.000\,km)$: $\frac{A_s}{A(r_0)}=\frac{1}{0,192}=5,21$

Für Stahl ist das Querschnittverhältnis unvorstellbar hoch und, obwohl theoretisch realisierbar, praktisch unmöglich zu verwirklichen, da es nicht möglich ist, eine derartige Stoffmenge ins All zu schaffen. Ähnliches gilt für die PE-Faser, deren Querschnittsfläche im geostationären Orbit noch mehr als 600.000-mal größer als am Erdboden wäre.

Ohne ein geeignetes Seilmaterial mit erheblich größerer Reißlänge wird eine Realisierung des Weltraum-Fahrstuhls nicht möglich sein.

Zurzeit wird an einem vielversprechenden Werkstoff geforscht, der aus Graphit in Form von Kohlenstoff-Nanoröhrchen besteht und zu Seilen verwoben werden kann. Mit diesem neuen Seilmaterial haben sich bereits im Labor theoretische Reißlängen von um die 6.000 km ermitteln lassen, die zu einem Querschnittsverhältnis von weniger als 2,3 führen würden. Sollten eines Tages das Produktionsproblem gelöst und ebenso die Fragen der Beständigkeit gegen äußere Einflüsse beantwortet sein, ist an eine Realisierung des Weltraum-Fahrstuhls zu denken.

Derzeit forschen US-amerikanische und japanische Unternehmen (Prototyp bis 2050) an der Umsetzung. In der Space-ElevatorChallenge werden Realisierungschritte (Seilmaterial, Antrieb, Stromversorgung usw.) ausgeschrieben und prämiert.

*Jerome Pearson: The orbital tower: a spacecraft launcher using the Earth’s rotational energy, Acta Astronautica. Vol. 2. pp. 785-799, Pergamon Press 1975. (siehe z.B. hier)

Dieser Beitrag stammt ursprünglich aus dem Casio Forum 2017/2.