Vielen ist die klassische Aufgabe der offenen Schachtel zum Einstieg in Optimierungsprobleme bekannt: Gegeben ist ein quadratisches Stück Papier (z.B. im Format 21cm x 21cm), man schneide an den Ecken Quadrate aus, so dass man aus dem Netz eine offene Schachtel mit maximalen Volumen erstellen kann. Handelt es sich dabei aber wirklich um die beste Art eine Schachtel aus einem quadratischen Papier herzustellen?

Ein Beitrag von Dr. Holger Reeker, Reinoldus-Schiller-Gymnasium der Stadt Dortmund
– MaLeNe-Koordinator Nordrhein-Westfalen –

Optimale Speiseverpackungen sind keine Quader

Im Kino gibt es Popcorn in sich nach oben weitenden Packungen, ebenso Pommes frites vom Imbiss oder Spezialitäten bei Volksfesten – es sind mathematisch gesehen eher Pyramidenstümpfe als Quader. Der Vorteil liegt klar auf der Hand: sie lassen sich besser stapeln und bei gleichem Materialeinsatz passt mehr in die Verpackung hinein. Daher liegt die Frage nahe, wie ein solcher Pyramidenstumpf aus einem quadratischen Papier erzeugt werden kann.

Vom Netz zum Pyramidenstumpf

Ausgehend vom quadratischen Papierbogen werden an den Ecken keine Quadrate, sondern Drachen herausgeschnitten und der Pyramidenstumpf gefaltet.

Erkundung und Vergleich zum Quader

Ausgehend von Quadraten der Kantenlänge $7cm$ wurden im untenstehenden Beispiel Trapeze mit den Grundseiten von $7cm$ und $11cm$ entstehen gebildet. Die Grundfläche des Pyramidenstumpfes, welcher sich hieraus bilden lässt, hat somit eine Kantenlänge von $7cm$, die „Deckelfläche“ eine Kantenlänge von $11cm$.

Die Höhe des Pyramidenstumpfes ist $\sqrt{7^2-2^2}=\sqrt{45} \approx 6,7 [cm]$.

Das Volumen des Pyramidenstumpfes ist damit

$$V=\frac{1}{3}h\cdot(7^2+7\cdot11+11^2)\approx552[cm^3].$$

Der entsprechende Würfel in der klassischen Optimierungsaufgabe hat ein Volumen von $7^3=343[cm^3]$. Bei der Pyramidenstumpf-Verpackung passt also 61% mehr Inhalt hinein als bei der klassischen Quader-Verpackung! Hieran anknüpfend stellt sich die Frage, ob sich mit diesem Verfahren vielleicht auch eine Verpackung mit größerem Volumen herstellen lässt.

Die Suche nach der optimalen Verpackung

Werden analog zur oben beschriebenen Vorgehensweise gedanklich Quadrate der Kantenlänge $x$ als Grundlage genutzt und die außenliegende Grundseite des Trapezes jeweils um $2a$ Einheiten verlängert, so erhält man bei der Grundfläche der Verpackung eine Kantenlänge von $21-2x$, beim der gedachten Deckfläche eine Kantenlänge von $21-2x+2a$ und eine Höhe von $h=\sqrt{x^2-a^2}$.

Das Volumen des Pyramidenstumpfes ist

$$V_a (x)=\frac{1}{3}\cdot((21-2x)^2+(21-2x)(21-2x+2a)+(21-2x+2a)^2 )\cdot\sqrt{x^2-a^2 }.$$